Vestibular: Somatoria Dos Termos De Uma PA [PORTABLE]
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Em problemas que envolvem PA, é muito comum a busca por um termo bem distante dos termos iniciais. Para isto, temos a fórmula do Termo Geral, que nos possibilita encontrar qualquer termo da PA, dados a razão e o primeiro termo. Esta fórmula é:
Algumas propriedades são muito importantes para a resolução de problemas que envolvem PA. Uma delas é a relação entre três números consecutivos: o termo do meio é a média aritmética entre os termos dos extremos, ou seja, seja (a, b, c) uma PA, então
na qual e são, respectivamente, primeiro e último termo desta soma. Isto ocorre pois a soma de termos equidistantes dos extremos é constante e igual à soma do primeiro e último termos. Com isso, teremos esta soma constante a metade do número de termos vezes.
Agora, é muito importante, interpretarmos este resultado encontrado. Não queremos saber o total de termos dessa PA, que é 17, mas sim, a quantidade de termos que devemos inserir entre 1 e 81, ou seja, são apenas 15. Com isso, concluímos, que a quantidade de termos interpolados é sempre .
que são a fórmula do Termo Geral e a Soma do n primeiros termos de uma PA, respectivamente. Por exemplo, qual o número de termos da PA , cuja soma dos termos é 630 Inicialmente, usando a fórmula do Termo Geral, temos
Ou seja, se você começa por um número qualquer e a ele soma um valor r, obtém o segundo número da PA. Então, somando novamente r, chega ao 3º termo e assim por diante. Uma PA de três termos, em que o primeiro termo seja chamado de a, pode ser mostrada assim:
Agora, vejamos como encontrar a razão de uma PA. É simples, se você tiver pelo menos dois termos consecutivos. Se você souber an e também a(n-1) ou a(n+1), basta fazer a subtração entre o termo de maior posição e seu antecessor. Calcule:
Essa é uma questão muito comum. Como saber a soma dos termos de uma PA (Sn), sem ter que calcular de cabeça cada termo e somar, correndo risco de errar Aplicando a seguinte fórmula:
E mais uma fórmula é importante para que você domine o assunto da PA: a fórmula do termo central ou termo médio da PA (TM). Como saber qual o número que ocupa a posição do meio em uma PA com n termos Tome nota:
Podemos também identificar o valor da soma (sn) de todos os termos da progressão aritmética desde que sejam conhecidos o seu primeiro termo (a1) e o último termo (an), através da fórmula:
Lembrando que a soma dos termos, só aplica-se em um Progressão Aritmética finita ou limitada, cuja formula é a seguinte:Onde:a1 é o primeiro termo da PA;an é o primeiro último da PA;n é o número de termos existentes na PA;Sn é a soma de todos os termos da PA
Conforme vemos no enunciado do problema, ele diz que essa é uma PA de número impar de termos, desta forma vamos utilizar as duas propriedade que aprendemos acima para chegar a solução desse exercício, então vamos lá!
A fórmula para soma dos termos de uma Progressão Aritmética (PA) é bastante conhecida e apenas multiplica metade do número de termos de uma PA pela soma de seus termos inicial e final. A demonstração dessa fórmula envolve justamente algumas somas de termos, partindo de um princípio matemático percebido primeiro por Gauss.
Observe que os termos opostos já estão um abaixo do outro, mas nós duplicaremos o número de termos ao somarmos essas duas expressões. Portanto, diferentemente de Gauss, obteremos o dobro de uma soma:
O dobro da soma de Gauss é exatamente o número de termos da PA. Como todas as somas acima são iguais à soma dos extremos, faremos essa substituição e reescreveremos a soma como uma multiplicação:
A fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma PA depende do número de termos da PA (72), do primeiro termo (12) e do último, que não sabemos. Para encontrá-lo, utilize a fórmula do termo geral de uma PA.
Trata-se do termo central do conjunto, para chegar a ela, todos os números da sequência devem ser colocados em ordem. Prossiga fazendo uma média dos dois termos centrais do conjunto, caso haja quantidade par de elementos.
Nessas fórmulas, an é o n-ésimo termo da PA, a1 é o primeiro termo, r é a razão e Sn é o valor da soma de todos os termos da progressão.
Por isso, para identificar o tipo de progressão, nós devemos primeiramente encontrar a razão da mesma. Se a divisão entre o termo sucessor e o antecessor, em qualquer lugar da Progressão, apresentar o mesmo valor nós teremos uma PG, mas se a diferença entre esses termos for tiver o mesmo resultado nós teremos uma PA.
Resumindo: para encontrar um determinado termo de uma sequência que não seja uma PA ou uma PG temos que somar o primeiro termo dessa progressão com a soma dos n-1 termos da nova progressão formada pela diferença dos termos da sequência original.
Note que em todos os exemplos acima, as sequências são definidas por uma ordem em seus elementos (também chamados de termos). Definimos o tamanho de uma sequência pelo número de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja infinita ou finita.
Em uma sequência, finita ou infinita, nomeamos os termos em função de sua posição, ou seja, nos exemplos acima temos que o 1º termo de cada um são: 1994, 1990 e 0. O segundo termo: 1998, 1994 e 1. Assim, determinamos que um termo de uma sequência em função de sua posição pode ser chamado de , onde n representa a sua posição (1ª, 2ª, 3ª, ..., nª). Dizemos também que o primeiro e o último termo de uma sequência finita ( e ) são chamados de extremos de uma sequência. Podemos então representa-la de uma forma genérica:
Perceba que, nos exemplos acima, todos os termos das sequências, a partir do 2º, são obtidos com a soma de um número fixo. Vejamos a sequência dos números naturais: Cada termo, iniciando com 0 (a1) é obtido somando 1 ao seu anterior. Ou seja:
No caso da sequência dos números naturais, o número 1 que é somado a cada termo é chamado de razão da progressão (r). Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo de uma sequência é a soma do elemento anterior com sua razão. Se analisarmos os outros exemplos, vemos que elas possuem uma razão igual a 4. Vamos agora reescrever os termos da sequência em função de r (razão).
Gauss utilizou este procedimento para obter a fórmula da soma dos termos da PA. No exemplo acima, notem que teremos, no total, n/2 parcelas de valor (n+1), ou seja (5 x 11 = 55). Esta relação vale para a soma dos termos de uma P.A. Gauss constatou então que:
Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo após o primeiro é formado adicionando um valor fixo. Se a1 é o primeiro termo, r (denominada razão) é a constante adicionada a cada termo e n é o número de termos na progressão aritmética.
Em P.A. e P.G., a lógica é eficaz para a dedução das fórmulas. Nesse sentido, observe, por exemplo, na P.A. que o segundo termo é o primeiro termo vezes a razão; o terceiro é o primeiro termo vezes o dobro da razão, etc. De forma análoga, na P.G., o segundo termo é o primeiro termo multiplicado pela razão; o terceiro é primeiro termo vezes o quadrado da razão. Por fim, as somas dos termos são fórmulas que recomendamos ser memorizadas, pois sua dedução é um pouco mais complexa para realizar no dia da prova.
A progressão aritmética é uma sequência numérica recursiva em que cada elemento, menos o primeiro, é representado como a soma do elemento anterior com um constante r, denominado de razão. Normalmente, em uma PA é importante que o aluno saiba de duas fórmulas: a do termo geral e da soma dos termos.
Em suma, a grande diferença entre estes dois tipos de progressão é que uma utiliza da soma para sequenciar seus termos e a outra utiliza do produto.Por fim, é importante ressaltar que as progressões aritmética e geométrica são de tipos diferentes(crescente, decrescente, constante, etc) e sempre são figurinhas carimbadas em vestibulares.
O protocolo de determinado tribunal associa, a cada dia, a ordem de chegada dos processos aos termos de uma progressão aritmética de razão 2: a cada dia, o primeiro processo que chega recebe o número 3, o segundo, o número 5, e assim sucessivamente. Se, em determinado dia, o último processo que chegou ao protocolo recebeu o número 69, então, nesse dia, foram protocolados
(b) Observe que a diferença entre termos sucessivos da sequência em questão é dada por uma progressão aritmética cujo primeiro termo é [tex]2[/tex] e a razão [tex]3[/tex]. Assim, construindo os nove primeiros termos da PA dessas diferenças, temos: [tex]2, \\, 5, \\, 8, \\, 11, \\, 14, \\, 17, \\, 20, \\, 23, \\, 26[/tex].Podemos então encontrar o décimo termo da PA de segunda ordem calculando os termos anteriores à ele. Alguns já conhecemos: [tex]\\qquad \\qquad (4, \\, 6, \\, 11, \\, 19, \\, 30, \\, 44, \\, 61, \\, 81, \\, 104, \\, \\, \\boxed{130} \\, ,\\cdots).[/tex]Logo, o décimo termo solicitado na questão é [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$130$} \\, .[/tex]
(d) Vamos denotar por [tex](b_1, \\, b_2, \\cdots) [/tex] a progressão aritmética de razão [tex]r[/tex] formada pela diferença dos termos da progressão aritmética de [tex]2^a[/tex] ordem [tex](a_1, \\, a_2, \\cdots) \\, .[/tex] Desta forma, temos que:
O raciocínio por trás da soma dos termos de uma pa consiste em perceber que a soma entre o primeiro termo e o último termo é igual a soma do segundo termo pelo penúltimo e assim sucessivamente. Vamos a um exemplo sendo n o último termo. 153554b96e
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